Sifat Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks atau kalau dalam bahasa Inggris disebut sebagai Complex Number. Memang bilangan jenis ini sedikit lebih rumit daripada bilangan yang biasa kita pakai. Eits.. tapi jangan khawatir, kita akan coba pelajari bilangan ini dan memahaminya dengan baik.

Sebelumnya materi tentang bilangan kompleks sudah pernah saya singgung sedikit sini, tetapi sekarang kita akan membahasnya lebih jauh. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari 2 buah bagian, yakni: bagian nyata atau real dan bagian khayalan atau imajiner. Bagian nyata adalah bilangan real seperti yang kita gunakan sehari-hari, seperti: 3; -1; 1,1; 3,14. Sementara bagian imajiner adalah bagian bilangan kompleks yang merepresentasikan perkalian dengan identitas i (bilangan imajiner).

Apa itu bilangan imajiner?

Bilangan imajiner adalah bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan -1. Ya, minus satu. Dengan kata lain i = sqrt(-1) (Simbol sqrt() menyatakan akar kuadrat). Bisa dibayangkan bagaimana saktinya bilangan ini, hehehe. Untuk beberapa bilangan lain yang nampaknya mustahil untuk dicari nilai akar kuadratnya, kita bisa representasikan dengan bilangan imajiner. Misalnya sqrt(-9). Kalau dihitung secara biasa, kita tak bisa mendapatkan nilai akar kuadrat dari -9. Tapi kita bisa pisah nyatakan bilangan tersebut sebagai perkalian dua buah akar kuadrat (masih ingat kan sifat ini?). Misal sqrt(a x b) = sqrt(a) x sqrt(b). Hal yang sama juga berlaku untuk kasus ini. Kita bisa nyatakan sqrt(-9) = sqrt(9) x sqrt(-1). Kita tahu bahwa sqrt(9) adalah 3. Dengan demikian kita bisa tahu kalau sqrt(-9) adalah 3 kali sqrt(-1) atau 3 kali bilangan imajiner i.

Nah, kembali ke bilangan kompleks.

Karena bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai 2 bagian, kita bisa tuliskan bilangan kompleks sebagai penjumlahan dari bagian real dan bagian imajiner. Contohnya:

3 + 4i

2 + i

0 + 3i

dll

Umumnya kita akan menuliskannya sebagai a + bi dengan a adalah bagian bilangan real, dan b adalah bagian bilangan imajiner.

Hampir sama dengan bilangan-bilangan lain, bilangan kompleks juga memiliki sifat-sifat. Bilangan kompleks tertutup terhadap operasi penumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Artinya, keempat operasi tersebut dapat menghasilkan bilangan kompleks juga. Berikut sifat operasi tersebut.

Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dua buah bilangan kompleks dinyatakan sebagai:

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Artinya, penjumlahan bilangan kompleks semudah menjumlahkan setiap bagian bilangan kompleks yang sama. Jika dilihat bagian nyata dari bilangan pertama dan kedua dijumlahkan (a + c) kemudian bagian khayalan juga dijumlahkan terhadap sesamanya (b + d). Untuk kasus pengurangan juga tak jauh berbeda. Namun yang harus diperhatikan adalah, pengurangan hanya terjadi pada setiap bagian yang sama. Dengan kata lain

(a + b i) – (c + d i) = (a – c) + (b – d) i

Kenapa menjadi (a – c) + i (b d) bukan (a – c) – i (b – d) atau jawaban lain? Jawabannya sederhana tanda + mengatakan bahwa terdapat dua buah bagian bilangan yang membentuk bilangan kompleks.

Contoh:

(3 + 5 i) + (2 + 2 i)

= (3 + 2) + (5 + 2) i

= 5 + 7 i

dan

(4 + 2 i) – (3 + 1 i)

= (4 – 3) + (2 – 1) i

= 1 +  1 i

= 1 + i

Perkalian

Aturan perkalian pada bilangan kompleks sebenarnya cukup sederhana.

(a + b i) * (c + d i)

=> a*c + a*d i + b*c i + b*d*i*i

=> (a*c – b * d) + (a*d + b*c) i

sehingga

(a + b i) * (c + d i) = (a*c – b * d) + (a*d + b*c) i

Ingat lagi bahwa i adalah akar kuadrat dari -i dengan demikian i kuadrat akan menghasilkan -1 sehingga b*d*i*i akan menghasilkan – b * d. Bilangan ini adalah bilangan real karena sudah tak mengandung i lagi.

Contoh:

(3 + i) * (2 + 3 i)

= (3*2 – 1*3) + (3*3 + 1*2) i

= 3 + 11  i

Pembagian

Pembagian bilangan kompleks boleh dibilang sedikit lebih njlimet (baca: rumit). Ide dasarnya adalah kita membuat penyebut (bilangan yang ada di bagian bawah dalam pecahan) menjadi sederhana. Langsung saja kita ke contoh:

(a + b i) / (c + d i)

Misal (a + b i) dibagi dengan (c + d i). Kita perlu membuat c + d i menjadi sederhana. Kita tahu bahwa (x + y) dikali dengan (x – y) akan menghasilkan (x*x – y*y). Kita akan memanfaatkan sifat ini. Tapi kalau begitu, supaya adil bagian pembilang juga harus dikalikan dengan nilai yang sama. Maka kita dapatkan:

( (a + b i) * (c – d i) ) / ( (c + d i)*(c-d i) )

=> ( (a + b i)*(c – d i) ) / ( c^2 + d^2)

=> ( (a*c + b * d) + ( – a*d + b*c) i ) / ( c^2 + d^2)

Perhatikan, tanda ^ berarti pangkat. C^2 berarti c pangkat 2 atau c kuadrat.

Contoh:

(2 + 3 i) / (1 + 2 i)

= ( (2 + 3 i) * (1 – 2 i) ) / ( (1 + 2 i) * (1 – 2 i) )

= ( (2*1 + 3*2) + ( -2*2 + 3*1) i )  /  ( 1^2 + 2^2 )

= ( 8 – i ) / 5

10 Comments

  1. Great! Jadi gunanya bilangan imajiner ini buat apa Sat?

    • Dalam bidang matematika:
      memberikan solusi terhadap persamaan yang tak bisa dipecahkan secara biasa. Misal, x^2 + 4 = 0. Kalo dijawab pakai sistem bilangan real biasa, hasilnya tak ada. Tapi jawabannya akan ada ketika kita memakai bilangan kompleks, yaitu x = 2 i

      Dalam bidang elektro:
      untuk analisis rangkaian. Ada beberapa bagian rangkaian terutama rangkaian AC, yang menghasilkan nilai kompleks.

      Dan lain-lain.

  2. terus apa nanti berhubungan dengan e^iz = cos apa gitu….

    • Mungkin yang dimaksud adalah rumus euler e^ix = cos(x) + i sin(x)

      Rumus itu adalah yang menggunakan bilangan kompleks di dalam analisis bilangan kompleks. Materinya cukup advance. Kalau mau (dan kalau ingat) mungkin akan saya bahas di artikel tersendiri.

      • jadi bilangan kompleks itu punya sifat sederhana ya?
        pangkat bisa jadi perkalian.

  3. alam

    Numpang Copas ya kakak….

    Thks

  4. salam kenal gan.
    saya baru tahu kalo perkalian dan pembagian bilangan kompleks bisa dengan memakai cara seperti di atas, soalnya biasanya saya menggunakan cara dengan jalan mengkorversinya dulu ke bentuk polar.

  5. gan yg contoh pembagian baris 2 terakhir = = ( (2*1 + 3*2) + ( -2*2 + 3*1) ) / ( 1^2 + 2^2 ),
    yang 3 * 2 angka 2 nya emang gk d kasih min? jd gini😦 (2*1 + 3*. – 2) + ( -2*2 + 3*1) ) / ( 1^2 + 2^2 ),

  6. jadi hasilnya (-4-i)/5, atau apa saya yg salah y

    • yang ini ya? (2 + 3 i) / (1 + 2 i)
      hasilnya udah bener kok. Rumusnya sesuai dengan yang di atas

      (a+bi)/(c+di) = ((a + b i) * (c – d i) ) / ((c + d i)*(c-d i))

      dengan a =2, b = 3, c = 1, d = 2.
      Itu ada typo, ( (2*1 + 3*2) + ( -2*2 + 3*1) ) / ( 1^2 + 2^2 ) harusnya ( (2*1 + 3*2) + ( -2*2 + 3*1)i ) / ( 1^2 + 2^2 ) atau ada i. Tapi hasil akhir udah bener kok

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: