Berbagai Macam Bilangan

Dalam matematika kita mengenal adanya berbagai macam jenis bilangan. Ada beberapa macam himpunan bilangan yang dikenal seperti bilangan bulat (integer), bilangan riil (real / floating point number), bilangan imajiner (imaginary) dll . Kita akan membahas macam bilangan tersebut satu-persatu.

Bilangan asli

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar (Inggris: apes) juga bisa menangkapnya.

Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).

Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.

Himpunan bilangan asli  diberi lambang  N (berasal dari kata Natural dalam bahasa Inggris yang berarti “alami”), jadi

N = {1, 2, 3, 4, …………}

Bilangan bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3, …) dan bilangan nol.  Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).

Sifat-sifat

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Contoh:

2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.

2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif

2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif

sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer. Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara -32768 sampai 32767. Apa itu signed? Signed maksudnya bilangan tersebut memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + di depan bilangan yang menunjukkan nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara -32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

Bilangan Cacah

Bilangan cacah sebenarnya merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Bilangan cacah merupakan bilangan bulat dengan nilai tak negatif. Sehingga anggota bilangan cacah adalah {0,1,2,3,4,…} . Kenapa dinamakan sebagai bilangan cacah? Karena fungsi bilangan ini untuk mencacah atau menghitung banyaknya jumlah benda. Setidaknya begitulah dalam pemikiran saya :P

Bilangan rasional

Dalam matematika, bilangan rasional adalah bilangan yang   dapat dinyatakan sebagai bentuk  a / b  , di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan  Rasional  diberi lambang : Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  6 dapat dinyatakan sebagai: 12 / 2 atau 30 / 15 dan sebagainya.

Bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional. Maksudnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk  a / b di mana a dan b   adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.

Contoh:

p = 3,141592653358……..    (desimalnya tidak  beraturan/tidak berulang)
e  = 2,71828281284590…….   (desimalnya tidak  beraturan/tidak berulang)

akar 2 = 1,4142135623……..    (desimalnya tidak  beraturan/tidak berulang

Bilangan riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).

Sifat-sifat

Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga

Contoh:

2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.

2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)

2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif

2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real. Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.

SKEMA BILANGAN

skema bilangan

Skema Bilangan

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat  akar dari i  = −1. Dapat juga dikatakan dengan suatu bilangan yang dikuadratkan dapat menghasilkan nilai -1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

x^2 +1=0

yang jika dijabarkan bahwa persamaan tersebut benar jika x^2 merupakan -1. Kita menyimbolkan akar dari -1 sebagai i (dari kata imajiner) sebagai satuan bilangan imajiner.

Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x.

Bilangan kompleks

Dalam matematika, bilangan kompleks merupakan himpunan pasangan terurut (a,b) yang memiliki bentuk :

a+bi

dimana a dan b adalah bilangan riil atau terdefinisi nyata (bilangan nyata), dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat akar dua dari i = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

About these ads

22 Comments

  1. Lian Rahmad Iskandar

    please sent to me…

    • Indah Paramita

      Aku ngerti mksdmu, klo km dikirimin, kirimin aku juga ya !

  2. Apanya yang dikirim ya?

    • Indah Paramita

      Ya teksnya lah, dia kan mau pelajari,,, duh,,, :(

      • Oh, maaf kalau saya diminta mengirim satu per satu mungkin saya juga tak memiliki waktu untuk melakukannya.

        Silahkan saja kalau mau copy artikel tersebut, semuanya gratis disebarkan

  3. ikhtiar rahmatullah

    kak,berapa jumlah hinpunan bilangan?

    • Secara umum ada beberapa himpunan yang sering dipakai:
      1. bilangan bulat
      2. bilangan riil
      3. bilangan kompleks

      Dari ketiga itu bisa diturunkan beberapa himpunan bilangan lain, seperti:
      1. bilangan asli
      2. bilangan rasional (berbentuk pembagian a/b)
      3. bilangan imajiner (yang membentuk bilangan kompleks)

  4. Indah Paramita

    Saya kasi sedikit komen ya !
    Bahasa yang Anda gunakan sedikit kurang formal, terlalu bertele – tele. Kasihan orang baca dan ingin dapat jawabn secara cepat ! Mohon sedikit dipangkas agar lebih efektif !

    • Terima kasih sarannya… :)
      Pembahasan yang saya berikan memang demikian, tidak terlalu formal agar tak seperti dalam textbook tetapi saya mengajak pembaca untuk mengeksplorasi lebih jauh.

      Maaf jika tak seperti keinginan dan tak seperti kebanyakan situs tetapi saya lebih mengajak pembaca untuk memahami daripada mendapatkan jawaban yang instan.
      :)

  5. aulia

    Penjelasan definisi bilangan bulat kurang lengkap.
    Bilangan bulat dibagi menjadi bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan prima, bilangan komposit.

    • aulia

      maaf maksud saya bilangan asli belum dijabarkan yaitu bagiannya adalah bilangan genap,ganjil,prima,komposit

      • OK, terima kasih masukannya :D

  6. gassing

    OK BRO SAYA AMBIL SEMUA ARTIKELNYA YAH

  7. pipit chaiiank c'kmu ajh

    cara”.a jelasiin sma” yuuu .

  8. Kak kalo penjelasan tentang bilangan Komposit nya ada ga ?

  9. lila

    mw tnya.
    apakah smua bilangan itu ada himpunannya.

    thank

  10. ma_dona

    kak,,, msih bingung yg bilangan imaginer

  11. klo lambang bil cacah, kompleks, sama irasional apa?

    • bilangan cacah dan irasional nggak ada lambangnya, kalau nggak salah. Bilangan kompleks lambangnya C

  12. Manan siti nuryanah

    kirim ini ke email sya dong, sya sangat butuh sekali ini

  13. Manan siti nuryanah

    kirim dong ke email saya?

Trackbacks

  1. Algoritma Membuat Bilangan Prima « Another Satria's Project

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 38 other followers

%d bloggers like this: